Mathematik, Arbeitsrichtung Modellierung, Simulation und Optimierung realer Prozesse

Strukturiere Steuerung und Regelung von port-Hamiltonischen Netzwerkmodellen

Zeithorizont

01.07.2022 - 30.06.2026

Finanzierung

Teilprojekt B03 im Sonderforschungsbereich/Transregio 154  "Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung am Beispiel von Gasnetzen" ( DFG - Projekt 239904186)

Allgemeine Ideen und Anwendungsbereiche

Das allgemeine Ziel der angewandten Mathematik besteht darin, mit Hilfe abstrakter Werkzeuge Rückschlüsse auf die Realität zu ziehen. Zu diesem Zweck müssen genaue mathematische Modelle gewählt werden. Ein Ansatz, der sich in der Vergangenheit als sehr nützlich erwiesen hat, ist die Verwendung dynamischer Systeme. Diese Systeme können zur Modellierung eines breiten Spektrums von Phänomenen verwendet werden, das von der Modellierung von Epidemien über Mondlandungen bis hin zu Stromnetzen und Gasinfrastrukturen reicht. Wir können ein dynamisches System mit Hilfe von Computern simulieren, was uns Informationen über die zukünftige Entwicklung des realen Phänomens, das wir modellieren, liefert. Bei einer Gasleitung können wir etwas über die Dichte und die Geschwindigkeit des Gases zu einem bestimmten Zeitpunkt erfahren, was uns wiederum die Berechnung anderer wichtiger Größen, wie zum Beispiel des Drucks, ermöglicht. Dies sind sehr nützliche Daten in Anwendungen, da dort diese Informationen genutzt werden können, um den Betrieb zu optimieren. Langfristig hilft das, Ressourcen zu sparen und dem Klimawandel entgegenzuwirken. Und genau mit dieser Optimierung beginnt unsere Reise!

Abildung 1. Ein Modell eines Gasnetzes.

    Um die mathematischen Modelle genauer zu machen, suchen wir nach dynamischen Systemen, die eine bestimmte Struktur haben. Als Motivation können wir an das Prinzip der Energieerhaltung betrachten, welches besagt, dass Energie nicht erzeugt werden kann. Da alle Phänomene der realen Welt diesem Gesetz folgen, sollten Modelle, die eine hohe Genauigkeit anstreben, diesen Grundsatz einbeziehen. Ein Weg um dies zu erreichen ist die Modellierung mit Port-Hamiltonschen Systemen. Bei diesen Systemen handelt es sich um eine spezielle Klasse dynamischer Systeme, die aus der energiebasierten Modellierung stammen. Dies bedeutet, dass das dynamische System in Teile zerlegt wird, die

  • Energie speichern,
  • Energie verteilen, und
  • Energie dissipieren.

Energiedissipation bedeutet hier, dass Energie so umgewandelt wird, dass sie in der Praxis unbrauchbar wird, wie zum Beispiel im Fall von Abwärme. Wir können diesen Modellierungsstandpunkt am Beispiel einer Gasleitung veranschaulichen. Bei einer Gasleitung ist die Energie im Impuls des strömenden Gases gespeichert. Durch den Transport des Gases wird Energie im System verteilt, und durch die Reibung im Rohr wird ein Teil der Energie unbrauchbar gemacht.

    Nachdem wir nun den geeigneten Modellierungsrahmen für unsere Aufgabe gefunden haben, können wir uns auf einen weiteren wichtigen Aspekt dynamischer Systeme konzentrieren: die Steuerung. Viele dynamische Systeme können gesteuert werden. Für das Beispiel der Gasleitung können wir den Zufluss von Gas an einem Ende der Leitung vorschreiben. Da wir so effizient wie möglich sein wollen, sind wir an optimalen Steuerungen interessiert, das heißt an Steuerungen, die ein bestimmes Kostenmaß minimieren. Für optimale Steuerungen ergeben sich folgende Fragen:

  • Können wir etwas über das Verhalten optimaler Steuerungen und die dazugehörigen
    Dynamiken sagen?
  • Wie kann man optimale Steuerungen in der Praxis effizient berechnen?

    Zur ersten Frage: Stellen wir uns vor, wir sind mit dem Auto unterwegs und wollen unser Ziel in kürzester Zeit erreichen. Wenn die zurückzulegende Strecke lang genug ist, dann ist ein Umweg über eine Autobahn schneller als der direkte Weg über langsamere Straßen. Interessanterweise ist dieses Phänomen mehr oder weniger unabhängig von unserem Start- und Zielpunkt. Der optimale Weg hat also ein ganz besonderes Verhalten. Wie sich herausstellt, lassen sich ähnliche Beobachtungen für eine große Klasse dynamischer Systeme machen, wie zum Beispiel in [5, 12] angemerkt wurde. Speziell für port-hamiltonsche Systeme ist eine Minimierung der dem System zugeführte Energie von Interesse, da dieses Kostenfunktional am besten in den energiebasierten Modellierungsrahmen von Port-Hamiltonischen Systemen passt.      

Abbildung 2. Dynamisches System, das mit einem Regler verbunden ist.

    Um Steuerungen effizient auszurechnen, werden häufig geschlossene Regelkreise verwendet, bei denen die Regelung auf der Grundlage einer gemessenen Größe des Systems, zum Beispiel der Geschwindigkeit des Gases, berechnet wird. Die Standardtechniken für diesen Ansatz liefern uns keine Regelgesetze, die durch port- Hamiltonsche Systeme realisiert werden können. Das ist nicht ideal, weil das bedeutet, dass wir aus unserem Modellierungsrahmen herausfallen. Daher sind wir an der Konstruktion von strukturierten Reglern interessiert, das heißt an Reglern, die eine port-Hamiltonische Struktur haben.

Mathematische Formulierung und Techniken

Um das Verhalten optimaler Steuerungen zu untersuchen, untersuchen wir das Verhalten von “Turnpikes”, welche auch in beispielsweise [6, 8, 10, 11] betrachtet werden. Insbesondere sind wir daran interessiert, die Lösungen des Optimalsteuerungsproblems

zu untersuchen. Optimale Steuerungsprobleme der Form (2) wurden für lineare Systeme in [10] und [11] untersucht. Die Nichtlinearität der Systemdynamik in unserer Fall macht dieses Problem zu einer Herausforderung. Um dieses Problem zu untersuchen, wollen wir die besondere Struktur von Port-Hamiltonschen Systemen zusammen mit den Techniken aus [6] und [8] nutzen. Diese Techniken verbinden die Turnpike-Eigenschaft mit einem Dissipativitätsbegriff, der dem von Jan Willems in den 1970er Jahren entwickeltem Begriff ähnelt [13].

    Für das Untersuchen von strukturierten Reglern wurden in [2] und [3] Methoden für lineare Systeme vorgeschlagen. Diese Methoden beruhen auf Modifikationen der algebraischen Riccati-Gleichungen, bei denen es sich um Matrixgleichungen der Form

handelt. Für lineare Systeme ist die optimale Steuerung durch spezielle Lösungen solcher Matrixgleichungen bestimmt. In [2] und [3], wurden diese Gleichungen in einer Weise modifiziert, die sicherstellt, dass der entsprechende Regler als port- Hamiltonisches System formuliert werden kann. Wir planen, dieses Problem auch für nichtlineare Systeme zu untersuchen. Für nichtlineare Systeme wird die algebraische Riccati-Gleichung durch die Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung [1] ersetzt, welche eine partielle Differentialgleichung ist. Diese Gleichung beinhaltet die Wertefunktion des optimalen Steuerungsproblems, welche die Anfangsdaten des dynamischen Systems auf den optimalen Wert des Kostenfunktionals für diese Daten abbildet.

Abbildung 3. Die Turnpike-Eigenschaft von Steuerungsproblemen.

Ergebnisse und zukünftige Forschung

In [9] haben wir gezeigt, dass das Optimalsteuerungsproblem (2) unter Glattheits-Annahmen ein Turnpike-Verhalten zeigt. Der Turnpike ist durch eine glatte Untermannigfaltigkeit des n-dimensionalen euklidschen Raums gegeben, welche mit dem energiedissipierenden Teil der Systemdynamik assoziiert ist, nämlich

    Zukünftige Forschungsthemen umfassen die Untersuchung komplizierterer Systeme, wie das in [4] untersuchte Gassystem. Aufgrund ihres nichtlinearen Verhaltens ist es schwierig, eine optimale Steuerung für solche Systeme numerisch zu berechnen. Bestimmte Eigenschaften des betrachteten optimalen Kontrollproblems, wie Singularitäten [7], erhöhen die Schwierigkeit noch weiter.

Abbildung 4. Optimalsteuerung für ein akademisches System.

Literatur

[1] M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhäuser, Boston, MA, U., 1997.
[2] T. Breiten and A. Karsai, Structure-preserving H∞ control for port-Hamiltonian systems, Systems & Control Letters, 174 (2023), p. 105493.
[3] T. Breiten, R. Morandin, and P. Schulze, Error bounds for port-Hamiltonian model and controller reduction based on system balancing, Computers & Mathematics with Applications, 116 (2022), pp. 100–115.
[4] P. Domschke, B. Hiller, J. Lang, V. Mehrmann, R. Morandin, and C. Tischendorf, Gas network modeling: An overview. 2021.
[5] R. Dorfman, P. Samuelson, and R. Solow, Linear Programming and Economic Analysis, Dover Books on Advanced Mathematics, Dover Publications, 1987.
[6] T. Faulwasser, K. Flaßkamp, S. Ober-Blöbaum, M. Schaller, and K. Worthmann, Manifold turnpikes, trims, and symmetries, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 34 (2022), pp. 759–788.
[7] T. Faulwasser, J. Kirchhoff, V. Mehrmann, F. Philipp, M. Schaller, and K. Worthmann, Hidden regularity in singular optimal control of port-Hamiltonian systems, arXiv preprint 2305.03790, 2023.
[8] L. Grüne and R. Guglielmi, On the relation between turnpike properties and dissipativity for continuous time linear quadratic optimal control problems, Mathematical Control & Related Fields, 11 (2021), pp. 169–188.
[9] A. Karsai, Manifold turnpikes of nonlinear port-Hamiltonian descriptor systems under minimal energy supply, arXiv preprint 2301.09094, 2023.
[10] F. Philipp, M. Schaller, T. Faulwasser, B. Maschke, and K. Worthmann, Minimizing the energy supply of infinite-dimensional linear port-Hamiltonian systems, IFAC-PapersOnLine, 54 (2021), pp. 155–160.
[11] M. Schaller, F. Philipp, T. Faulwasser, K. Worthmann, and B. Maschke, Control of port-Hamiltonian systems with minimal energy supply, European Journal of Control, 62 (2021), pp. 33–40.
[12] E. Trélat and E. Zuazua, The turnpike property in finite-dimensional nonlinear optimal control, Journal of Differential Equations, 258 (2015), pp. 81–114.
[13] J. Willems, Dissipative dynamical systems part I: general theory, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 45 (1972), pp. 321–351.