Zahlreiche Phänomene und Prozesse in Natur, Technik und Wirtschaft lassen sich durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschreiben. Standardbeispiele sind die Wärmeleitung, die Strömung von Flüssigkeiten und Gasen, das Vibrieren einer Membran, chemische Reaktionen, das Wachstum von Populationen oder die Ausbreitung von Krankheiten. Sehr oft sind die entstehenden Gleichungen nichtlinear. Gelegentlich treten auch Integralterme auf, die nichtlokale Phänomene beschreiben.

Wesentlicher Gegenstand der Theorie von Differentialgleichungen ist die Frage nach der Existenz von Lösungen der auftretenden Differentialgleichungsprobleme. Der Existenznachweis gelingt oftmals konstruktiv durch den Nachweis der Konvergenz einer Folge von Näherungslösungen. 

Ist die Existenz von Lösungen gesichert, so stellen sich weitere Fragen: Gibt es mehr als nur eine Lösung? Hängt die Lösung stetig von den Problemdaten ab oder führen schon kleine Abweichungen in den Daten zu großen Abweichungen in der Lösung? Welche Eigenschaften besitzt eine Lösung (Glattheit, asymptotisches Verhalten, …)? Kann eine Lösung in geschlossener Form angegeben werden?

Das Fachgebiet Differentialgleichungen befasst sich insbesondere mit nichtlinearen Evolutionsgleichungen zur Beschreibung instationärer Prozesse, wie sie etwa in der Strömungsmechanik oder Elastizitätstheorie auftreten. Eines der zentralen Themen ist die theoretische Absicherung von Diskretisierungsverfahren. Hierbei kommen vornehmlich Methoden aus der (nichtlinearen) Funktionalanalysis zum Einsatz.